POLIGONALES
CON TEODOLITO
INTRODUCCION
Una poligonal es una serie de líneas rectas que
conectan estaciones poligonales, que son puntos establecidos en el itinerario
de un levantamiento. Una poligonal sigue un recorrido en zigzag, lo cual quiere
decir que cambia de dirección en cada estación de la poligonal. El
levantamiento de poligonales es un procedimiento muy frecuente en topografía,
en el cual se recorren líneas rectas para llevar a cabo el levantamiento planimétrica.
Es especialmente adecuado para terrenos planos o boscosos. Existen dos tipos de
poligonales: Poligonal abierta y poligonal cerrada.
DESARROLLO
POLIGONAL
SEGÚN LOS PUNTOS DE PARTIDA Y LLEGADA
Poligonal
Abierta
Es aquella en que los segmentos extremos no coinciden
en un mismo punto.
Poligonal
Cerrada
Una poligonal cerrada es aquella en que los segmentos
extremos coinciden en un mismo punto.
POLIGONAL
SEGÚN LA ORIENTACIÓN ANGULAR
Poligonal
Orientada
Cuando se observa una poligonal orientada, el
instrumento está orientado en cada uno de los puntos o estaciones que compone
la poligonal.
Se estaciona el aparato en el punto inicial A y se
orienta, para lo que será necesario conocer el acimut θAR, de una dirección AR.
Seguidamente se visa al punto B, sobre el que se hacen las medidas de ángulos y
distancias necesarias para situar dicho punto por radiación. Al estar el
aparato orientado, la lectura acimutal que se haga sobre B será el acimut θAB,
de tal dirección. Después se traslada el aparato a B, la dirección de
referencia será BA ya que el azimut de θBA es conocido, por ser el recíproco de
θAB, medido en A. Radiamos desde B el punto C y nos trasladamos a él, se
orienta utilizando el azimut θBC reciproco de θCB, continuándose así hasta el
final de la poligonal.
Como siempre debe procurarse tener una comprobación de
los resultados obtenidos, por lo que al estacionar en el último punto E se
orienta el instrumento sobre D con el acimut θ E
D y a continuación se visa a la dirección ER’ de
acimut conocido. Es natural que, debido a los inevitables errores de
observación, el valor leído para θ ER' no coincida exactamente con dicho acimut
conocido. la diferencia será el error de cierre angular de la poligonal.
En un itinerario orientado los acimutes directos y
recíprocos deben de diferir en 200 grados, puesto que se ha obligado al
goniómetro a indicar las lecturas correspondientes. En la práctica no sucede
así. Con el instrumento se observan las direcciones en las posiciones de CD y
CI. Las lecturas promedio que se obtienen no resultan rigurosamente iguales a
las deseadas, lo que determina que los acimutes directos no se corresponde con
sus recíprocos. Se van produciendo a lo largo del itinerario unas ligeras
desorientaciones y el error de cierre acimutal que pueda aparecer al observar
la dirección de cierre estará también ligeramente falseado, con respecto al que
obtendremos finalmente en cálculo.
Se hace necesario corregir en cálculo las
desorientaciones situadas en el momento de la observación. Esta operación
recibe el nombre referir acimutes al origen.
Poligonal
no Orientada
En este caso no se puede, o no se desea, llevar el
instrumento orientado.
Se estaciona en el punto de inicio de la poligonal A y
con la lectura acimutal cualquiera se visa a R. Después se realiza la observación
completa cobre B.
Es evidente que por diferencia de lecturas acimutales
se podrá conocer el ángulo que la dirección AB forma con AR. En B se visa a A
con una lectura arbitraria y seguidamente se efectúan las observaciones
necesarias sobre C, con lo que se podrá calcular el ángulo en B. Se continua de
forma análoga hasta finalizar en E, donde se deberá visar también a R’ para
conocer el ángulo de dicha estación.
Con las referencias y conocidos los acimutes de las
direcciones observadas, se pueden posteriormente calcular los acimutes de todos
los lados o tramos de la poligonal y llegar a conocerse el error de cierre de
la poligonal. Para poder conocer el error de cierre se utiliza la corrida de
acimutes.
ANGULOS
INTERIORES Y EXTERIORES
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los
interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados
contiguos y los exteriores son sus suplementarios.
Conocemos la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en
triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.
Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un
pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el nómero de
lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2
triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si
el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:
La suma de los ángulos exteriores de cualquier
polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman
180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en
total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º
LEVANTAMIENTO
DE POLIGONALES CON TEODOLITO
El método general de observación de una poligonal era
el denominado método de Moinot, que consiste en estacionar en el punto A, se
toman lecturas de espalda a la referencia y de frente al punto B, en CD. Se
campanea el anteojo y se toman lecturas de espalda y de frente en CI. Siempre
se realiza la observación angular aplicando la regla de Bessel.
Por otra parte, las distancias se miden en la
observación directa (de A a B) y en la recíproca (de B a A), pero sólo en CD.
Desde los vértices inicial y final se visará a más de
un punto conocido para determinar la desorientación del punto de estación. Cada
visual de punto de estación conocido a punto de coordenadas conocidas, nos
permite determinar un valor de la desorientación. Éste cálculo ha de realizarse
más de una vez (es decir en campo ha de tomarse más de una visual de
orientación) para tener comprobación del mismo.
Por otro lado, desde los puntos de nueva implantación
de la poligonal deben realizarse visuales a referencias de control, y en lo
posible se ha de intentar que las referencias que se utilicen pertenezcan a la
misma red.
Todo este procedimiento metodológico y la posibilidad
de realizar ajustes mínimo cuadráticos, ha llevado a que actualmente las
poligonales se observen aplicando el método de vueltas de horizonte.
La búsqueda de una mayor redundancia de observaciones
y un mayor alcance de los equipos, permiten fácilmente observar un mayor número
de vértices sin restringir la toma de datos al vértice de frente y de espalda.
En caso de que sea posible, se observará al mismo tiempo a otros vértices de la
poligonal o de la red de orden superior que sean visibles, tanto en ángulos
como en distancias, aumentando los grados de libertad del ajuste sin
dificultad.
Se trabaja aplicando el método de vuelta de horizonte en
cada estación con observaciones angulares y/o distancia al resto de los puntos
visibles ya sean éstos de coordenadas conocidas (procedentes de la misma red
que los puntos A y D), o de la poligonal de nueva implantación, a cuyos
vértices se pretende dotar de coordenadas.
En el caso de la figura representada anteriormente el
gráfico de visuales de campo podría ser el siguiente:
Además de las visuales a los vértices de espalda y de
frente, se toman ángulos y/o distancias a vértices adicionales.
El
método de vueltas de horizonte consiste, por ejemplo, en el punto de estación
B, en realizar el estacionamiento y colocar el anteojo en posición C.D. Se
elige una dirección (la que esté mejor definida) como origen, que podría ser la
visual de espalda a A, y se anotan las lecturas en CD a cada una de las
restantes: H, C, D y M, volviendo a mirar a A al finalizar y comprobando que
esta lectura, denominada de cierre, es la misma que al comienzo. Así nos
aseguramos que el instrumento no ha sufrido ningún tipo de movimiento durante
la observación. La discrepancia de valores permitida será:
A continuación, se voltea el anteojo, se coloca en
posición de CI y se repiten las observaciones girando el instrumento en sentido
contrario al de las agujas de reloj: M, D, C, H y A; y comprobando el cierre en
A.
Si el cierre es correcto se dice que se ha observado
una serie o vuelta de horizonte. En caso contrario se deberá repetir el
procedimiento desde el principio.
La medida de distancias se realiza en la posición de
anteojo CD, como mínimo a los vértices de atrás (vértice A en nuestro ejemplo)
y de frente (vértice D). No olvidemos que en la actualidad las estaciones
totales que realizan la medida de distancias sin prisma reflector, con la señal
reflejada directamente sobre el punto visado, nos puede permitir medir
distancias a
los puntos M, H y D sin necesidad de ir a ellos.
El procedimiento de cálculo que planteamos a
continuación selecciona las visuales elementales de una poligonal tradicional
para determinar unas coordenadas aproximadas. Posteriormente se recuperan todas
las observaciones de campo para realizar el ajuste mínimo cuadrático y dar la solución
final de coordenadas de los vértices de nueva implantación.
CALCULO
Y COMPESACION DE LAS COORDENADAS
Para proyectar y realizar una poligonal es necesario
conocer de antemano:
-
Coordenadas
del punto de salida A (XA, YA , HA )
-
Acimut
del vértice A a una referencia (como mínimo): θAREF
-
Coordenadas
del punto de llegada D (XD, YD , HD )
-
Acimut
del vértice D a una referencia (como mínimo): θDREF’
Los datos que se han obtenido en la observación mínima
realizada en campo son:
-
Ángulos
de la poligonal.
-
Distancias
reducidas de los tramos por duplicado.
Con estos datos procederemos a obtener las coordenadas
(X, Y, H) de los vértices en los que se ha estacionado. La altimetría se
obtiene por nivelación trigonométrica compuesta.
En el caso de observación que estamos planteando de
redundancia mayor de observaciones, ésta será la primera fase para determinar
unas coordenadas que serán consideradas como aproximadas en una segunda fase de
ajuste mínimo cuadrático.
El método tradicional de cálculo de una poligonal,
obtiene en una primera fase el valor de los acimuts compensados de la
poligonal, para posteriormente proceder a realizar el cálculo de las
coordenadas X, Y.
Procedemos a exponer este método de cálculo de
coordenadas aproximadas, o de poligonación tradicional para posteriormente
concluir con el ajuste MMCC.
CALCULO
DE AREA POR COORDENADAS
Puede usar el método de las cruces, donde la suma de
los productos a la derecha menos la suma de los productos a la izquierda
dividido 2 te da el área: a=(suma deproductos a la derecha)-(suma de productos
a la izquierda)/2.
Ejemplo: si tienes un polígono delimitado por los
puntos p1,p2,p3,p4,p5.
a=(n1*e2+n2*e3+n3*e4+n4*e5+n5*e1)-(e1*n2+e2*n3+e3*n4+e4*n5+e5*n1)/2
-
Otro
ejemplo : Área de una región poligonal.
Un método práctico para obtener el área de una región
poligonal en el plano cartesiano. Sea A 1, A 2, A 3, ... A n, un polígono de n
lados cuyos vértices, nombrados en sentido anti horario tienen como coordenadas
A 1(x1, y1), A 2(x2, y2), A 3(x3, y3), ... A n(xn, yn), Entonces el área de la
región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:
Obsérvese que en el determinante se repite, en la
última fila, el primer par ordenado.
Para resolver el determinante procedemos de la forma
siguiente:
Si es pi, j el elemento que ocupa la posición (i, j)
en el determinante, efectuamos la suma de
productos
D = p1, 1.p2, 2 + p2, 1.p3, 2 + ... + pn, 1.pn+1, 2
Tal como indica la línea roja, y la suma de productos
I = p1, 2.p2, 1 + p2, 2.p3, 1 + ... + pn, 2.pn+1, 1
como indica la línea azul.
Aplicado al caso que nos ocupa resulta:
D = x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + ... + x n
y 1
I = y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + ... + y n x 1
El valor del área es:
BIBLIOGRAFIA
